A ordem que vem do caos

No século XX, as ciências exatas produziram três grandes revoluções que tiveram profundo impacto filosófico. Duas delas são amplamente reconhecidas, a relatividade de Einstein e a física quântica, mas a terceira – e em minha opinião, mais profunda – raramente é vista com este status. Trata-se da teoria do caos, disciplina integrante da área de sistemas dinâmicos.

Quando digo que as primeiras são reconhecidas, refiro-me ao público em geral, obviamente. A relatividade de Einstein nos forneceu um novo olhar sobre o universo. Mudou nossa concepção de tempo e espaço. A relatividade restrita, entre outras coisas, chama nossa atenção para a importância (filosófica) das relações de causa e efeito. Ela provê um caráter absoluto a essas relações, que passam a ditar como a arena em que os eventos ocorrem (o espaço-tempo à nossa volta), se relaciona com seus observadores. Já a relatividade geral… Acho que basta dizer que ela permitiu o desenvolvimento de uma teoria cosmogônica plausível, cientificamente. E isso é apenas um de seus aspectos. Do ponto de vista filosófico, a física quântica também mudou nossa concepção de universo. Um de seus pontos fortes (filosoficamente falando) é que questiona a plausibilidade de uma realidade independente da observação. Ao interagir com um sistema, modificamos suas propriedades. Perguntas do tipo “como era o sistema, antes de ser medido”, deixam de fazer sentido. As visões clássicas do realismo e da localidade, têm de ser abandonadas.

Assim, deixo claro que essas duas disciplinas são revoluções com profundo impacto filosófico. Mas elas têm algo em comum: elas versam sobre correções à nossa realidade. A relatividade de Einstein versa sobre sistemas que possuem ingredientes rápidos (se comparados à velocidade da luz no vácuo), ou com muita energia. Pode ser considerada um desvio da relatividade de Newton, ou melhor, uma correção a ela, em casos extremos, muitas vezes desvinculados da nossa percepção quotidiana. A física quântica versa sobre o pequeno, ou o isolado. Novamente, fenômenos quânticos podem ser vistos como correções aos casos clássicos, na maioria das vezes.

A teoria do caos, por outro lado, fornece uma miríade de princípios filosóficos fundamentais, dentro da nossa percepção quotidiana. Não é uma correção à nossa noção de realidade. Ela derruba a segurança ingênua da previsibilidade determinística dos fenômenos quotidianos, com experiências que podemos fazer em casa. Não só isso. Ela também fornece uma explicação plausível para o surgimento do relógio, sem o relojoeiro – as propriedades emergentes de sistemas complexos e sua capacidade de auto-organização.

A teoria do caos derrubou uma suposição que chegou a nortear boa parte dos avanços científicos até então. A ideia era que, no ambiente clássico, se conhecêssemos todas as condições iniciais (ou de contorno) de um problema, e a descrição de sua evolução, via solução de equações diferenciais, por exemplo, então o sistema seria completamente previsível. Ocorre que isso não é verdade. Para uma certa classe de sistemas, condições iniciais muito próximas podem se tornar arbitrariamente distantes, com a evolução do sistema. Não se trata de se afastarem indefinidamente – alguns pontos próximos podem continuar próximos, enquanto que outros se afastarão muito. Como há sempre uma imprecisão nas medidas, ou até mesmo no arredondamento ao fazermos os cálculos em um computador, não há como sabermos se a aproximação que fizemos refletirá o comportamento real do sistema. Esses sistemas, ditos exibirem dependência sensível das condições iniciais, são, para efeitos práticos, imprevisíveis, a longo prazo. Note que são sistemas determinísticos, ou seja, sabendo como evolui o problema, se soubéssemos as condições iniciais exatamente, a solução seria completamente determinada. Ainda mais, sabendo as condições iniciais com boa precisão, somos capazes de prever o comportamento do sistema, dentro de um limite de tempo, que depende do erro a que estamos dispostos a tolerar. Mas apesar de determinísticos, são imprevisíveis. Mas não tão imprevisíveis quanto um fenômeno verdadeiramente aleatório (dito sistema estocástico). É uma espécie de meio termo. Muitos modelos matemáticos interessantes exibem esse tipo de comportamento. Um exemplo clássico é a equação logística, que descreve uma dinâmica populacional “de brinquedo”. Se x denota a fração de uma população em um tanque (um número entre 0, a extinção, e 1, o tanque com capacidade máxima), a população no próximo período de tempo (no ano seguinte, por exemplo) é calculada como rx(1-x), onde r é uma taxa de natalidade. Esta taxa deve variar entre 0 e 4. Quando a população é pequena, a parcela negativa não é tão importante e a população cresce de acordo com a taxa r, aproximadamente. Quando a população é grande, a parcela negativa se torna importante e a população decresce. Isso modela o esgotamento de recursos, causado por um ambiente superpopulado. Para r entre 0 e 1, o destino da população é a extinção. De 1 a 3,57, aproximadamente, o comportamento da população é oscilatório (a longo prazo). De 3,57 em diante, o comportamento da população, a longo prazo, é imprevisível, para a maioria dos valores de r. Há ainda as “janelas de periodicidade”, onde o comportamento volta a ser previsível. Como se vê, uma equação simples (dito mapa, por se desenvolver em tempo discreto), exibe um comportamento riquíssimo. Os interessados podem ver um pouco mais sobre o mapa logístico na wikipedia (em inglês).

Equações simples podem fornecer um comportamento rico e descrever sistemas bastante complicados. Podemos recorrer aos “sistemas de funções iteradas” (ou IFS) e produzir imagens belíssimas. Como exemplo, cito esta samambaia (a samambaia de Barnsley), que cultivei em meu computador, especialmente para este post.

samambaia

A samambaia de Barnsley

Esta figura é construída partindo-se da origem de um sistema de coordenadas e aplicando, a cada passo, uma de quatro possíveis transformações afins (transformação linear mais translação), escolhida aleatoriamente. São regras extremamente simples que são capazes de produzir a bela figura acima. Esta figura foi produzida com um script em python, usando os pacotes scipy.

Mas há um outro aspecto da teoria que me chama muito a atenção. A teoria dos sistemas complexos. Sistemas complexos se caracterizam por possuir uma enormidade de entidades simples, que interagem entre si, localmente, com uma quantidade muito pequena de elementos. Pilhas de grãos de areia são assim, redes neurais são assim, enfim… Há uma quantidade imensa de sistemas que podem ser modelados dessa forma. Imagine que nossas interações sociais são assim, os mercados financeiros, nossa distribuição geográfica, populações biológicas (em ecossistemas), sinalização celular, transcrição gênica, diferenciação celular… Só para citar alguns.

Aqueles que gostam de brincar com computadores não podem deixar de testar os autômatos celulares. São sistemas compostos por entidades individuais, com estados bem definidos que dependem dos estados de seus vizinhos. Em um dado instante, o sistema tem uma dada configuração. Então calcula-se qual será o estado no instante posterior (o tempo é discreto) e atualiza-se o sistema todo, de uma vez. Um exemplo bem conhecido é o jogo da vida. Aqui eu produzi um gif com uma versão modificada do jogo. Em cada célula, representada por um pixel na figura, há três entidades diferentes. Há pasto, representado na cor verde, em quantidade que pode variar de 0 a 255. O pasto cresce naturalmente e o jogo começa com pasto em tudo. Há herbívoros, representados em azul, em quantidade que pode variar de 0 a 255. Os herbívoros tendem a morrer, se não houver pasto em volta. Mas se houver, prosperam e aumentam em quantidade. Há também predadores, representados em vermelho, cuja quantidade varia entre 0 e 255. Os predadores tendem a morrer se não se alimentarem dos herbívoros adjacentes e prosperam na sua presença. É claro que o número de herbívoros decresce na presença de predadores. Herbívoros e predadores são alocados no início do jogo de maneira aleatória, em cerca de 10 por cento dos pixels. Note que, em um pixel branco há 255 predadores, 255 unidades de pasto e 255 herbívoros. Predadores, pasto e herbívoros são representados segundo o sistema de cores RGB. O gif tem pouco mais de 10 minutos. Foi produzido por um script em python, usando o pacote scipy, que gerou as imagens em png, que foram reunidas em um gif com o programa convert, da suíte ImageMagick.

LVlifex10

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