Estatística e a expansão de gases

E se todas as moléculas de oxigênio presentes no ar de uma sala fossem, ao mesmo tempo, se amontoar em um canto e lá ficassem? Morreríamos sufocados. Não há lei da mecânica que proíba um tal conluio de moléculas. Se é assim, por que isso não acontece? A curiosa resposta para isso é que é pouco provável que aconteça. Para nos convencermos disso, quero propor uma espécie de jogo.

O jogo envolve dois dados de seis faces e onze cartões, que podem ser facilmente confeccionados em papel. É uma adaptação de um modelo chamado Urna de Ehrenfest, que visa explicar a expansão de gases, do ponto de vista da mecânica estatística.

Antes, um pouco sobre as hipóteses. O gás é modelado como uma coleção imensa de partículas em uma quantidade fixa, que não interagem entre si, dentro de um compartimento isolado do resto do universo (mecanicamente e energeticamente), que é imensamente maior do que o volume total das partículas (a soma do volume de todas as partículas). Em uma tal situação, as partículas têm uma distribuição de velocidades, que depende da temperatura do sistema, mas cuja forma é bem definida. É conhecida como a distribuição de Maxwell-Boltzmann. A forma exata desta distribuição não será importante aqui. O que importa é que há muitas partículas com energia de movimento próxima à média e, à medida que vamos nos afastando desta média, encontramos cada vez menos partículas. Assim, há poucas partículas muito energéticas e poucas partículas “lentas”, se comparadas ao valor médio.

Vamos ao jogo. Tome os onze pedaços de papel e numere-os de 2 a 12. Divida a mesa (ou qualquer apoio que esteja à sua frente) em duas partes e coloque todos os cartões em um dos lados. O que vamos simular é a situação em que um gás esteja, inicialmente, em um compartimento e uma passagem seja aberta, permitindo que ele se expanda para outro compartimento idêntico. Os números representarão (muito aproximadamente – isso é apenas uma experiência didática) o nível de energia das partículas. Jogue os dois dados e some os valores obtidos. Será um valor de 2 a 12. Encontre o cartão com aquele número e troque-o de lado. Repita este procedimento até não ser mais divertido (ou umas vinte vezes, o que for maior). Conte quantos cartões há em cada lado. Se quiser, pode continuar mais algumas vezes e voltar a contar o número de cartões em cada lado. Se os dados não são viciados, o número de cartões deve flutuar em torno da metade, em cada lado. Aqui, os dados servem para modelar a hipótese de que existe uma probabilidade de uma partícula passar de um compartimento para outro. No final, o gás ocupa os dois compartimentos, aproximadamente da mesma maneira.

Vamos aos detalhes. E aquela história de distribuição de velocidades? Isso foi representado pelo fato de termos dois dados. Em uma jogada de um dado não viciado, a probabilidade de sair uma face específica é de uma em seis. Para termos o resultado 2, os dois dados têm de fornecer a face 1, o que dá uma chance de 1 em 36. O mesmo ocorre para o 12; a única possibilidade é que os dois dados forneçam 6. Para termos o resultado 3, pode ser que tenhamos 1 no primeiro dado e 2 no segundo, ou o contrário. Então, são duas possibilidades em 36. O mesmo ocorre com o 11: podemos obtê-lo com 5 e 6, ou com 6 e 5. Seguindo este raciocínio, o valor com maior probabilidade de sair é 7. Há seis maneiras de conseguirmos este resultado, o que fornece uma probabilidade de 6 em 36. Assim, há seis vezes mais chances de obtermos o resultado 7, do que 2, por exemplo.

Uma nota de cautela. Para um dado não viciado, a probabilidade de sair uma face específica em uma jogada é de um sexto. Isso significa que, se jogarmos esse dado um número imenso de vezes, esperamos que a frequência com que essa face saia seja próxima ao valor da probabilidade dito antes (um sexto). É assim que sabemos que o dado não é viciado. Se a frequência das faces for diferente de um sexto cada, o dado é viciado. O leitor atento (ou com formação em matemática) deve ter se revoltado com a circularidade desta “definição”. Isso porque esta não é uma definição. É apenas uma argumentação de cunho prático. Há uma linda discussão sobre as interpretações do conceito de probabilidade em termos de frequências de ocorrência ou de possibilidade (ou tendência) de ocorrência que, infelizmente, não cabe aqui. O que importa para nós é que existe um sistema mecânico (o dado não viciado) que é capaz de fornecer uma saída aleatória com a distribuição de probabilidades que desejamos (note que esta não é, nem de longe, a distribuição de Maxwell-Boltzmann – isso é só um jogo). Poderíamos muito bem usar, como fonte de números aleatórios, outros sistemas. Um computador moderno pode produzir números aleatórios verdadeiros (não os pseudo-aleatórios), que servem bem à nossa proposta. Você pode modificar o jogo como quiser.

Ao executar o jogo, é possível perceber que o gás ocupa os dois recipientes porque esta é a situação mais provável. A explicação da termodinâmica estatística para a expansão de gases perfeitos é obtida pela contagem dos possíveis estados e determinando-se, assim, o mais provável. Isso requer que o sistema esteja em equilíbrio, ou seja, já “acomodado”. O jogo aqui descrito não requer esta hipótese: é um modelo dinâmico por natureza (evolui fora do equilíbrio).

Divirtam-se.